Observa esta secuencia. No es tan visual como las Potencias de diez, pero….numero-largo { display: block; overflow-wrap: anywhere; font-family: monospace; font-size:.8em; padding: .8em;text-align:right;}φ = 1,61803398874989484820…φ² = 2,61803398874989484820…φ³ = 4,23606797749978969641…φ⁴ = 6,85410196624968454461…φ⁵ = 11,09016994374947424102…φ⁶ = 17,94427190999915878564…φ⁷ = 29,03444185374863302666…φ⁸ = 46,97871376374779181230…φ⁹ = 76,01315561749642483896…φ¹⁰ = 122,99186938124421665125…φ¹¹ = 199,00502499874064149021…φ¹² = 321,99689437998485814146…φ¹³ = 521,00191937872549963167…φ¹⁴ = 842,99881375871035777313…φ¹⁵ = 1.364,00073313743585740480…φ¹⁶ = 2.206,99954689614621517793……φ⁹¹ = 10.420.180.999.117.162.549,00000000000000000010…φ⁹² = 16.860.207.025.497.407.046,99999999999999999994…φ⁹³ = 27.280.388.024.614.569.596,00000000000000000004…φ⁹⁴ = 44.140.595.050.111.976.642,99999999999999999998…φ⁹⁵ = 71.420.983.074.726.546.239,00000000000000000001…φ⁹⁶ = 115.561.578.124.838.522.881,99999999999999999999…φ⁹⁷ = 186.982.561.199.565.069.121,00000000000000000001…φ⁹⁸ = 302.544.139.324.403.592.003,00000000000000000000…φ⁹⁹ = 489.526.700.523.968.661.124,00000000000000000000…φ¹⁰⁰ = 792.070.839.848.372.253.127,00000000000000000000…He utilizado 20 decimales para que se aprecie mejor, pero aunque los últimos valores acaben en 000… en realidad tienen otras cifras más allá, de modo que no son enteros aunque lo parezcan.La cuestión es que las potencias de φ, el número áureo, se aproximan a números enteros a medida que aumentan. ¿WTF? ¿De dónde surge esa curiosa propiedad? Porque como es sabido el número áureo, φ = (1 + √5)/2 = 1,61803… y es un numero irracional. Raro parece que se aproxime a los enteros simplemente multiplicándolo por sí mismo una y otra vez.La explicación está en una curiosa peculiaridad: φ tiene una especie de «gemelo» si se cambia un signo: (1−√5)/2 = −0,61803… y las potencias de ambos, sumadas, (1 + √5)/2 + (1 - √5)/2, siempre dan un número entero (concretamente, uno de los llamados números de Lucas): 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47… Así, por ejemplo, φ¹⁰ + (−0,618…)¹⁰ = 123. Es decir, que a φ¹⁰ = 122,991869… le falta justo lo que aporta la potencia de su pequeño gemelo elevado a 10 para llegar al entero.Y ahí está la clave: como 0,618… es menor que 1, sus potencias se hacen cada vez más pequeñas y se acercan rápidamente a cero. Por eso las potencias de φ quedan cada vez más cerca del número entero correspondiente.Así, por ejemplo, φ²⁰ = 15.126,999933… que está muy cerca de 15.127, y φ⁵⁰ = 28.143.753.122,999999999964… todavía más cerca de 28.143.753.123. Como el «gemelo» es negativo, las potencias de φ alternan entre positivas y negativas según el exponente sea par o impar, de modo que las de φ quedan en consecuencia un poco por debajo (999999…) o un poco por encima (000001…) del valor entero más cercano, aunque sin llegar nunca a serlo.Las matemáticas son a veces mágicas, pero en este caso hemos descubierto el «truco».Relacionados:Casi enterosThe Golden RatioEl número áureo y el pentagramaDe kilómetros a millas gracias a la secuencia de FibonacciFracciones que generan la sucesión de Fibonaccieπi +1 = 0: la fórmula más bella del mundo explicada gráficamenteUn reloj de números irracionalesDivisiones con resultados curiososSecuencias de números consecutivosPotencias de 10, hoy 10 del 10# Enlace permanente