Un dibujo que se mete dentro de sí mismo cuando se mira en detalle. Hasta el infinito y más allá. Y no, no es magia negra, aunque lo parezca.La Galería de grabados de M.C. Escher (litografía, 1956) era una de las obras que más enorgullecían a su autor; también es una de mis favoritas. Es toda una puesta en práctica del efecto Droste, pero con su peculiar estilo:(…) Un hombre está mirando unos grabados en una galería. La imagen comienza a ampliarse y deformarse, pero manteniendo cierta coherencia visual que permite seguirla paso a paso sin interrupción aparente. El cuadro se transforma en… los edificios del puerto de una ciudad costera (Senglea, Malta)… uno de los cuales resulta ser una galería de grabados… donde vuelve a aparecer el protagonista.Laszlo Korte parece que también está fascinado por esta obra y por el detallado vídeo de 3Blue1Brown, de modo que decidió añadirlo como un shader a sus herramientas educativas en forma de interactivo: se puede parar la imagen, moverse hacia dentro y fuera, mostrar varios modos, guías matemáticas y demás.La idea es sencilla: una imagen contiene una copia más pequeña de sí misma hasta el infinito. Pero la gracia no está sólo en repetir la imagen, sino en romper la separación entre copias y convertir esa recursión en una espiral de forma continua, como si todo fuera una sola escena que se hunde hacia dentro. Ahí entran las matemáticas: coordenadas polares, logaritmos complejos, exponenciales y transformaciones conformes que conservan la forma local de los pequeños cuadrados. Dicho de forma simplificada: se cambia el sistema de coordenadas, se gira y amplía la imagen a ese nuevo espacio, y luego se vuelve al original.La clave está en cómo se reparte el zoom. Se puede trabajar con una versión sencilla de 16 niveles de autosimilitud de 16 veces; en la obra de Escher se puede medir que la copia interna está 256 veces más reducida. Al pasar la imagen al espacio logarítmico, esa reducción deja de verse como un zoom y pasa a ser un simple desplazamiento lateral. La periodicidad angular aparece como una repetición vertical de 2π. De este modo una operación que en coordenadas cartesianas sería un poco liosa se convierte en algo bastante más limpio: logaritmo, rotación, escalado y exponencial.El resultado final no sólo recrea el efecto visual de Escher, sino que también explica por qué su imagen parece una solución elegantísima a un rompecabezas que, aunque obvio de toda obviedad, ni siquiera parecía tener solución.Relacionado:Las matemáticas ocultas en la Galería de Grabados de M.C. EscherEscher, revisitado y explicadoMetacuadros: cuadros dentro de cuadrosMis obras favoritas de M.C. EscherMini-biografía de M.C. Escher# Enlace Permanente