Jadi Sebenarnya Matematika Mempelajari Apa? Objek atau Pola? Mempelajari Filsafat Matematika (Sumber Foto: Illustrasi dibuat oleh Nano Banana AI) Coba lihat tangan kamu. Ada lima jari. Sekarang tutup mata. Bayangkan angka 5. Apa yang kamu lihat? Apakah angka 5 itu sesuatu yang berdiri sendiri, seperti pohon atau batu? Atau angka 5 hanya muncul karena kita membandingkan satu jari dengan jari lainnya?Pertanyaan ini terdengar seperti iseng. Tapi di dunia filsafat matematika, pertanyaan ini memecah para pemikir paling tajam di abad ke-20 dan 21. Dua nama besar, Stewart Shapiro dari Ohio State University dan Michael Resnik dari University of North Carolina, mengajukan jawaban yang berbeda. Keduanya sama-sama disebut strukturalis. Tapi mereka bertengkar soal satu kata kecil, apakah struktur matematika ada sebelum benda-benda, atau hanya ada di dalam benda-benda?Dalam artikel ini, saya mengajak kamu duduk di bangku filosofis, mendengarkan dua profesor top dunia berdebat, lalu kamu sendiri yang memutuskan siapa yang lebih masuk akal.Strukturalisme Ante Rem: Angka Hanya Jabatan, Bukan OrangShapiro, dalam bukunya Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology (1997, Oxford University Press), memperkenalkan istilah ante rem structuralism. Kata ante rem dari bahasa Latin berarti “sebelum benda”. Shapiro berargumen bahwa struktur matematika seperti bilangan asli, bilangan real, atau ruang vektor, sudah ada dulu. Jauh sebelum ada manusia yang menghitung apel atau jari.Bayangkan begini. Dalam sebuah kerajaan, ada jabatan raja, menteri, dan penjaga gerbang. Jabatan-jabatan ini ada bahkan ketika kursi kerajaan kosong. Siapa pun yang duduk di kursi itu, dia menjadi raja. Tapi yang menentukan dia raja bukan darah atau sifat fisiknya. Yang menentukan adalah posisinya dalam struktur kerajaan yaitu di atas menteri, punya hak memerintah, dan seterusnya.Shapiro mengatakan angka 2 itu seperti jabatan raja. Angka 2 tidak memiliki sifat intrinsik. Tidak ada “keduanya” di dalam diri angka 2. Yang ada hanyalah posisi 2 dalam struktur bilangan asli, 2 adalah penerus dari 1, pendahulu dari 3, dan hasil dari 1+1. Jika struktur bilangan asli berubah, maka angka 2 juga berubah maknanya.Dalam jurnal Nous Vol. 40, No. 2 (2006), Shapiro menulis tegas: “Objek matematika tidak lebih dari tempat dalam struktur.” Pernyataan ini kontroversial karena menghilangkan “keberadaan diri” dari angka. Artinya, tidak ada yang namanya angka 2 yang bisa kamu tunjuk di langit. Yang ada hanyalah pola hubungan antar posisi.Strukturalisme In Re: Resnik Menolak Hantu Struktur Tanpa BendaMichael Resnik tidak setuju. Dalam bukunya Mathematics as a Science of Patterns (1997, Clarendon Press, Oxford), Resnik meluncurkan konsep in re structuralism. In re berarti “di dalam benda”. Resnik berargumen bahwa struktur matematika tidak bisa mengambang tanpa benda konkret yang membawanya.Resnik mengambil contoh sederhana. Catur. Aturan catur adalah struktur dimana bidak bergerak lurus, kuda bergerak L, raja tidak bisa berada dalam skak. Tapi aturan catur tidak ada di angkasa. Aturan itu ada karena ada papan, ada bidak, dan ada dua orang yang duduk bermain. Hapus semua benda fisik catur, hapus semua pemain, maka struktur catur lenyap. Struktur melekat pada sistem konkret.Sama dengan bilangan. Menurut Resnik, bilangan tidak butuh “dunia ide” ala Plato. Bilangan muncul karena ada sistem konkret yang memiliki relasi yaitu satu batu lebih kecil dari dua batu, dua batu lebih kecil dari tiga batu. Manusia kemudian menangkap pola relasional itu dan menyebutnya struktur bilangan asli. Tapi tanpa batu, tanpa jari, tanpa hitungan, struktur itu mati.Dalam jurnal Philosophia Mathematica (2001, Vol. 9, Issue 1), Resnik menulis “Struktur adalah properti dari sistem objek, bukan entitas yang berdiri sendiri.” Artinya, jika Shapiro mengatakan struktur mendahului objek, Resnik membaliknya menjadi objek konkret mendahului struktur. Struktur hanyalah cara objek-objek itu terhubung.Memahami Matematika (Sumber Foto: Illustrasi dibuat oleh Nano Banana AI) Perbedaan Kunci: Apakah Struktur Bisa Eksis Sendirian?Shapiro mengkritik Resnik, jika struktur hanya ada dalam benda, maka ketika semua benda konkret musnah (misalnya alam semesta hancur), apakah 2+3=5 menjadi salah? Shapiro bilang itu tidak masuk akal. Kebenaran matematika harus tetap benar bahkan dalam skenario tanpa manusia dan tanpa batu.Resnik membalas bahwa pertanyaan Shapiro salah arah. Kebenaran 2+3=5 adalah kebenaran tentang hubungan dalam sistem konkret apa pun yang memiliki struktur tertentu. Selama ada sistem yang memiliki relasi successor dan penjumlahan, maka pernyataan itu benar. Tidak perlu struktur abadi di luar ruang dan waktu.Dalam debat mereka di Journal of Philosophy (2006, Vol. 103, No. 7), kedua tokoh ini mencapai titik buntu yang produktif. Tidak ada yang menang. Tapi justru di situlah keindahan filsafat matematika dimana kamu diajak memilih sendiri.Jadi Sebenarnya Matematika Mempelajari Apa? Objek atau Pola?Kembali ke pertanyaan awal artikel ini, apakah matematika mempelajari objek (angka) atau hanya struktur/pola?Menurut Shapiro (ante rem), matematika murni mempelajari struktur. Objek seperti angka 2 hanyalah bayangan dari posisi dalam struktur. Kamu tidak akan pernah menemukan “angka 2” sebagai benda. Yang kamu temukan hanyalah pola relasi bahwa sesuatu yang disebut 2 selalu berada di antara 1 dan 3 dalam urutan tertentu. Maka belajar matematika berarti belajar peta hubungan, bukan mengoleksi benda abstrak.Menurut Resnik (in re), matematika mempelajari pola yang terwujud dalam sistem konkret. Angka tetap diperlukan sebagai entitas abstrak hasil abstraksi dari pengalaman fisik. Tapi entitas itu tidak pernah berdiri sendiri. Mereka selalu melekat pada setidaknya satu sistem contoh nyata. Jadi matematika mempelajari struktur dalam objek, bukan struktur tanpa objek.Dua kesimpulan ini tidak bisa disatukan. Tapi keduanya sepakat pada satu hal bahwa matematika bukan studi tentang objek yang memiliki sifat intrinsik. Tidak ada yang namanya “angka 2 itu sendiri”. Yang ada hanyalah peran angka 2 dalam keseluruhan jaringan relasi. Inilah revolusi strukturalisme: mematikan mitos objek matematika sebagai benda mandiri.Kamu boleh memilih ante rem ala Shapiro jika kamu merasa kebenaran matematika abadi bahkan tanpa alam semesta. Atau kamu memilih in re ala Resnik jika kamu merasa matematika harus selalu berpijak pada dunia yang bisa dialami. Tidak ada yang salah. Keduanya sama-sama diakui No 1 dunia dalam bidang ini. Tugasmu bukan menang atau kalah. Tugasmu adalah mengerti bahwa angka yang kamu tulis di buku tulis itu ternyata menyimpan perang filsafat paling sengit abad ini.Terima Kasih dan Semoga Bermanfaat 😁